Мастер-класс


Арифмети́ческая прогре́ссия (алгебраическая) — числовая последовательность вида
a_1,\ a_1+d,\ a_1+2d,\ \ldots,\ a_1+(n-1)d, \ \ldots,
то есть последовательность чисел (членов прогрессии), в которой каждое число, начиная со второго, получается из предыдущего добавлением к нему постоянного числа d (шага, или разности прогрессии):
a_n=a_{n-1} + d \quad
Любой (n-й) член прогрессии может быть вычислен по формуле общего члена:
a_n=a_1 + (n-1)d
Арифметическая прогрессия является монотонной последовательностью . При d>0 она является возрастающей, а при d<0 — убывающей. Если d=0, то последовательность будет стационарной. Эти утверждения следуют из соотношения a_{n+1}-a_n=d для членов арифметической прогрессии.

Общий член арифметической прогрессии

Член арифметической прогрессии с номером n может быть найден по формуле
a_n=a_1+(n-1)d, где a_1 — первый член прогрессии, d — её разность.

Характеристическое свойство арифметической прогрессии

Последовательность a_1, a_2, a_3, \ldots есть арифметическая прогрессия \Leftrightarrow для любого её элемента выполняется условие a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}2, n \geqslant 2.

Сумма первых n членов арифметической прогрессии

Сумма первых n членов арифметической прогрессии S_n=a_1+a_2+ \ldots + a_n может быть найдена по формулам
S_n=\frac{a_1+a_n}2 \cdot n , где a_1 — первый член прогрессии, a_n — член с номером n, n — количество суммируемых членов.
S_n=\frac{a_1+a_n}2 \cdot (\frac{a_n-a_1}{a_2-a_1}+1) — формула Алпеева , где a_1 — первый член прогрессии, a_2 — второй член прогрессии , a_n — член с номером n.
S_n=\frac{2a_1+d(n-1)}2 \cdot n , где a_1 — первый член прогрессии, d — разность прогрессии, n — количество суммируемых членов.
Геометри́ческая прогре́ссия — последовательность чисел b_1,\ b_2,\ b_3,\ \ldots (членов прогрессии), в которой каждое последующее число, начиная со второго, получается из предыдущего умножением его на определённое число q \quad (знаменатель прогрессии), где b_1\not=0, q\not=0: b_1,\ b_2=b_1q,\ b_3=b_2q,\ \ldots,\ b_n=b_{n-1}q.
Любой член геометрической прогрессии может быть вычислен по формуле:
b_n=b_1q^{n-1} \quad
Если b_1>0 и q>1, прогрессия является возрастающей последовательностью, если 0<q<1, — убывающей последовательностью, а при q<0 — знакочередующейся.
Своё название прогрессия получила по своему характеристическому свойству:
|b_{n}| = \sqrt{b_{n-1} b_{n+1}},
то есть каждый член равен среднему геометрическому его соседей.
  • Логарифмы членов геометрической прогрессии (если определены) образуют арифметическую прогрессию.
  • b_{n}^2 = b_{n-i} b_{n+i}, если 1 < i < n.
  • Произведение первых n членов геометрической прогрессии можно рассчитать по формуле:
    P_{n} = ( b_1 \cdot b_n )^\frac{n}{2} .
    • Произведение членов геометрической прогрессии начиная с k-ого члена, и заканчивая n-ым членом, можно рассчитать по формуле:
      P_{k,n} = \frac{ P_{n} }{ P_{k-1} }.
      • Сумма n первых членов геометрической прогрессии:
        S_n = \begin{cases} \sum\limits_{i=1}^n b_i = \frac{ b_1 - b_1 q^{n} }{1-q}=\frac{ b_1 (1 - q^{n} ) }{ 1-q }, & \mbox{if } q \ne 1 \\ \\ n b_1, & \mbox{if } q = 1 \end{cases}
        Если \left| q \right|<1, то  b_n \to 0 при n \to +\infty, и
        S_n \to {b_1 \over 1-q}  при n \to +\infty.

Комментариев нет:

Отправить комментарий

Подписаться на: Комментарии (Atom)